Алгебра 10 класс. Урок№9 Решение уравнений в целых числах.. мы узнаем: что такое диофантовы уравнения и способы их решения;. мы научимся: применять полученные знания при решении задач;. мы сможем: объяснять действия во время решения уравнений в целых числах.. Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида P(x1, x2,…, xn) = 0, где P(x1,…, xn) многочлен с целыми коэффициентами.. Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.. Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.. Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.. Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d больше 1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.. Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d больше 1 и с d, то оно равносильно уравнению а х + b у = с, в котором НОД(а, b ) = 1.. Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах: х = х^0с + bt, у = y^0c at, где х^0, y^0 целое решение уравнения ах + bу = 1,. t – любое целое число.
Осторожно, спойлер! Нелинейный диофант. Сегодня поговорим о том, как решать нелинейные диофантовы уравнения вида. Am + Bn = Cmn.. Если вы хотели, но ещё не успели посмотреть четвертое занятие курса по подготовке к заданиям 12-19 ЕГЭ по математике [https://foxford.ru/courses/940/landing?ref=p308_yt&utm_source=linear&utm_medium=cpa&utm_campaign=2256&utm_term=p308_yt], не смотрите это видео! Библиотека курсов онлайн-школы Фоксфорд: https://foxford.ru/library/courses?ref=p308_yt&utm_source=linear&utm_medium=cpa&utm_campaign=2256&utm_term=p308_yt. Онлайн-курсы с Борисом Трушиным: 11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть C (задания 13-19):. https://foxford.ru/courses/940/landing?ref=p308_yt&utm_source=linear&utm_medium=cpa&utm_campaign=2256&utm_term=p308_yt. 11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть B (задания 1-12):. https://foxford.ru/courses/939/landing?ref=p308_yt&utm_source=linear&utm_medium=cpa&utm_campaign=2256&utm_term=p308_yt. 10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике:. https://foxford.ru/courses/938/landing?ref=p308_yt&utm_source=linear&utm_medium=cpa&utm_campaign=2256&utm_term=p308_yt. 9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике:. https://foxford.ru/courses/937/landing?ref=p308_yt&utm_source=linear&utm_medium=cpa&utm_campaign=2256&utm_term=p308_yt. Личный сайт: http://TrushinBV.ru. ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: https://vk.com/ege_trushin. Группа сайта TrushinBV.ru: https://vk.com/trushinbvru. Личная страница: https://vk.com/trushinbv. Группа сайта: https://facebook.com/trushinbv. Личная страница: https://facebook.com/boris.trushin. YouTube-канал: https://youtube.com/trushinbv
Диофантовы уравнения (они же — уравнения в целых числах) встречаются в последней задаче из профильного ЕГЭ по математике. Но куда важнее другое: методы их решений представляют самостоятельную ценность. Поэтому решению диофантовых уравнений будет посвящена целая серия видюшек.. Сегодня мы разберём лишь самые простые уравнения — их можно назвать линейными. Но уже на их примере мы узнаем, что такое вычеты и как они помогают решать подобные задачи.
Записывайтесь на бесплатное вводное занятие в Фоксфорде — https://foxford.ru/I/NG. На сайте школьники могут подготовиться к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам и улучшить знания по школьным предметам. Занятия проходят в группах и в индивидуальном формате с репетитором.. Присоединяйся к Фоксфорду в соцсетях: Вконтакте: https://vk.com/foxford_edu. Facebook: https://www.facebook.com/foxford.ru/. Одноклассники: https://ok.ru/foxford
Извините, но возник один вопрос. На 11:37 есть выражение а(х-х0)=в(у0-у) Сразу под этим выражением есть пример выражения (у-у0) черех ак но поменялись местами игреки из начального а(х-х0)=в(у0-у), тоесть вместо вычитывания из у0-у получается что из у-у0. Так должно быть или это небольшая ошибка?
Путем подбора в течении 2-минут вышел на решение, это 6 и 5. Судя по методике решения, теперь понимаю как можно засрать мозги сложными системами решения и отбить всякое желание решать задачи. Ведь по сути, данное решение тоже подбор, только более сложный.
Борис Викторович, вы не могли бы объяснить, как это решить? Пусть [х] наибольшее целое число, не превосходящее число х, тогда существует ли такое натуральное число n, что [корень(n+2)]×[корень(n-2)]=n? Недавно в школе прошел пробный ЕГЭ, это был пункт «а» в 19 задаче
Алгебра была у меня в школе одним из любимых предметов. Многое забылось, да и навык за годы подрастерялся. Как хорошо, что есть ваш канал. Надеюсь, с помощью ваших видео напомнить мозгам о былой радости решения уравнений и задач. Подписываюсь!
Ухо режут слова типа хрень и т.д Над языком нужно работать и изьясняться внятно, без жагонных слов, благо русский язык позволяет. Дробушка применительно к изложению математики в ютубе тоже царапает слух.
Блин, это просто офигенно!!! Я хочу больше диофантовых уравнений очень сильно и было бы не плохо, если бы был какой нибудь более серьёзный уровень сложности, типа олимпиадных, я знаю, что на олимпиадах самых разных, частенько попадаются самые разные уравнения подобного типа, и было бы очень хорошо научиться их всех решать! Ну а за видео лайк однозначно.
Подскажите пожалуйста,после того как левую часть разложили на множители на две скобки после прикинули чему каждая скобка может быть равна 1и91,-1и -91,7 и 13,-7 и -13 это понятно.вопрос в том что ведь варианты 91 и 1,-91и -1,13и7,-13и -7 тоже ведь надо рассматривать…т.едолжно быть 8 вариантов.решал подобные задачи всегда полным перебором..заранее спасибо!
Мне кажется, что было бы проще доказать положительность второго множителя нашего выражения так: Рассмотрим x^2 + xy + y^2 как квадратный многочлен от х дискриминат D = y^2 4y^2 = -3y^2< 0, старший коэфициент больше нуля => всё выражение больше нуля
44:00 товарищи 11-классники должны свободно владеть методом алгебраического сложения, «Метод Гаусса на пальцах» мне кажется немного муторный, гораздо проще умножить уравнения на такие числа соответственно, чтобы при сложении этих уравнений взаимоуничтожилась нужная переменная. (это занимает меньше места и меньше возможностей для ошибки) 49:30 Как бы странно это ни звучало, но в наших краях (Ставрополье) эксперты снижают балл за то, что -31t+39 не приводят к -31t+8 (так как t можно смело увеличить на 1, 39 сравнимо с 8 по модулю 31) и так во всех выражениях. Вроде на ответ не влияет, а вот придраться могут легко (мол нерационально)
Разложим в общем виде, пожалуй. Пусть x, y неизвестные целые числа такие, что уравнение Ax + By = Cxy имеет решение. Ясно как небо, что нужно перенести либо правую часть в левую, либо наоборот. Делаем: Ax + By Cxy = 0. Пробуем разложить левую часть: x(A Cy) + By = 0. Т. к. By = B(A Cy A) * (-1/C), откуда By = -B(A Cy) + AB/C. Подставляем это в наше полу разложившееся уравнение и получаем, умножив на C: Cx(A Cy) BC(A Cy) + AB = 0 <=> (A Cy)(Cx AB) = AB <=> (Cy A)(Cx AB) = AB. Ну, вот, и все, Борис Викторович Трушин, осталось добить его. Число D = AB по-любому не простое (иначе все будет тривиально).
Для меня это из области выше моего понимания.но все равно очень интересно. А ведь это только уравнения первой степени. А ещё будет во второй степени и так далее? С ума сойти.Аж страшно представить. Объяснение отличное. Мне очень спасибо Вам за вашу работу для нас.
Борис Викторович, я тут задумался о такой проблеме и попытался её решить. В общем я хотел доказать что из k последовательных чисел (пусть натуральных): n (первое число); n+1 (второе число); n+2 (третье число);… n+k-1 (k-ое число) обязательно найдётся такое число, которое делится на k (то есть на их количество) и притом только одно. Например из двух последовательных натуральных чисел существует число которое делится на 2 или из трёх последовательных натуральных чисел существует такое число, которое делится на 3 (причём такое число единственное). И вроде как я смог это доказать. Но не уверен что правильно. Может это и очевидно но например в видео об основной теореме арифметики вы говорили что почти все даже самые очевидные факты надо доказывать. Вы не могли бы в каком нибудь видео попытатьсядоказать(или на оборот опровергнуть) это утверждение. Если это и вправду доказано, то это поможет доказать следующее мощное утверждение: произведение k последовательных натуральных чисел делится на k! (k факториал)
Мне всегда трудно даётся диафантовые уравнения.Вы объясняете так просто,понятно, ясно и подробно. Но эти уравнения почему-то мне трудно даются.эти замены,чёрт бы побрал,меня сводят с ума. Вообщем большое спасибо. Просто супер.Вы самый лучший учитель.
Извините, но возник один вопрос. На 11:37 есть выражение а(х-х0)=в(у0-у)
Сразу под этим выражением есть пример выражения (у-у0) черех ак но поменялись местами игреки из начального а(х-х0)=в(у0-у), тоесть вместо вычитывания из у0-у получается что из у-у0. Так должно быть или это небольшая ошибка?
Путем подбора в течении 2-минут вышел на решение, это 6 и 5. Судя по методике решения, теперь понимаю как можно засрать мозги сложными системами решения и отбить всякое желание решать задачи. Ведь по сути, данное решение тоже подбор, только более сложный.
Борис Викторович, вы не могли бы объяснить, как это решить? Пусть [х] наибольшее целое число, не превосходящее число х, тогда существует ли такое натуральное число n, что [корень(n+2)]×[корень(n-2)]=n?
Недавно в школе прошел пробный ЕГЭ, это был пункт «а» в 19 задаче
Алгебра была у меня в школе одним из любимых предметов. Многое забылось, да и навык за годы подрастерялся. Как хорошо, что есть ваш канал. Надеюсь, с помощью ваших видео напомнить мозгам о былой радости решения уравнений и задач. Подписываюсь!
Ухо режут слова типа хрень и т.д
Над языком нужно работать и изьясняться внятно, без жагонных слов, благо русский язык позволяет.
Дробушка применительно к изложению математики в ютубе тоже царапает слух.
Блин, это просто офигенно!!! Я хочу больше диофантовых уравнений очень сильно и было бы не плохо, если бы был какой нибудь более серьёзный уровень сложности, типа олимпиадных, я знаю, что на олимпиадах самых разных, частенько попадаются самые разные уравнения подобного типа, и было бы очень хорошо научиться их всех решать! Ну а за видео лайк однозначно.
Подскажите пожалуйста,после того как левую часть разложили на множители на две скобки после прикинули чему каждая скобка может быть равна 1и91,-1и -91,7 и 13,-7 и -13 это понятно.вопрос в том что ведь варианты 91 и 1,-91и -1,13и7,-13и -7 тоже ведь надо рассматривать…т.едолжно быть 8 вариантов.решал подобные задачи всегда полным перебором..заранее спасибо!
Мне кажется, что было бы проще доказать положительность второго множителя нашего выражения так:
Рассмотрим x^2 + xy + y^2 как квадратный многочлен от х
дискриминат D = y^2 4y^2 = -3y^2< 0, старший коэфициент больше нуля => всё выражение больше нуля
44:00
товарищи 11-классники должны свободно владеть методом алгебраического сложения, «Метод Гаусса на пальцах» мне кажется немного муторный, гораздо проще умножить уравнения на такие числа соответственно, чтобы при сложении этих уравнений взаимоуничтожилась нужная переменная. (это занимает меньше места и меньше возможностей для ошибки)
49:30
Как бы странно это ни звучало, но в наших краях (Ставрополье) эксперты снижают балл за то, что -31t+39 не приводят к -31t+8 (так как t можно смело увеличить на 1, 39 сравнимо с 8 по модулю 31) и так во всех выражениях. Вроде на ответ не влияет, а вот придраться могут легко (мол нерационально)
Разложим в общем виде, пожалуй. Пусть x, y неизвестные целые числа такие, что уравнение Ax + By = Cxy имеет решение. Ясно как небо, что нужно перенести либо правую часть в левую, либо наоборот. Делаем: Ax + By Cxy = 0. Пробуем разложить левую часть: x(A Cy) + By = 0. Т. к. By = B(A Cy A) * (-1/C), откуда
By = -B(A Cy) + AB/C. Подставляем это в наше полу разложившееся уравнение и получаем, умножив на C:
Cx(A Cy) BC(A Cy) + AB = 0 <=> (A Cy)(Cx AB) = AB <=> (Cy A)(Cx AB) = AB.
Ну, вот, и все, Борис Викторович Трушин, осталось добить его. Число D = AB по-любому не простое (иначе все будет тривиально).
Для меня это из области выше моего понимания.но все равно очень интересно. А ведь это только уравнения первой степени. А ещё будет во второй степени и так далее? С ума сойти.Аж страшно представить. Объяснение отличное. Мне очень спасибо Вам за вашу работу для нас.
Осторожно, спойлер!
Нелинейный диофант
Сегодня поговорим о том, как решать нелинейные диофантовы уравнения вида
Am + Bn = Cmn.
Если вы хотели, но ещё не успели посмотреть четвертое занятие курса по подготовке к заданиям 12-19 ЕГЭ по математике https://foxford.ru/courses/940/landing?ref=p308_yt&utm_source=linear&utm_medium=cpa&utm_campaign=2256&utm_term=p308_yt, не смотрите это видео!
Борис Викторович, я тут задумался о такой проблеме и попытался её решить. В общем я хотел доказать что из k последовательных чисел (пусть натуральных): n (первое число); n+1 (второе число); n+2 (третье число);… n+k-1 (k-ое число) обязательно найдётся такое число, которое делится на k (то есть на их количество) и притом только одно. Например из двух последовательных натуральных чисел существует число которое делится на 2 или из трёх последовательных натуральных чисел существует такое число, которое делится на 3 (причём такое число единственное). И вроде как я смог это доказать. Но не уверен что правильно. Может это и очевидно но например в видео об основной теореме арифметики вы говорили что почти все даже самые очевидные факты надо доказывать. Вы не могли бы в каком нибудь видео попытатьсядоказать(или на оборот опровергнуть) это утверждение. Если это и вправду доказано, то это поможет доказать следующее мощное утверждение: произведение k последовательных натуральных чисел делится на k! (k факториал)
Мне всегда трудно даётся диафантовые уравнения.Вы объясняете так просто,понятно, ясно и подробно. Но эти уравнения почему-то мне трудно даются.эти замены,чёрт бы побрал,меня сводят с ума. Вообщем большое спасибо. Просто супер.Вы самый лучший учитель.